1. Mesurer une aire avec le hasard
Los Alamos, 1946 : un mathématicien malade, un jeu de cartes et une idée.
En 1946, le mathématicien polonais Stanislaw Ulam, convalescent, fait des réussites pour passer le temps. Il se demande quelle est la probabilité de réussir une partie, essaie de la calculer, puis renonce : le calcul est trop compliqué. Il lui vient alors une idée plus simple : jouer cent parties, et compter celles qui réussissent.
Avec John von Neumann, il applique cette idée sur l'un des tout premiers ordinateurs, l'ENIAC. Leur collègue Nicholas Metropolis baptise la méthode Monte-Carlo, du nom du casino où un oncle d'Ulam allait jouer. Le principe : quand un calcul est trop difficile, on le remplace par une expérience aléatoire répétée un grand nombre de fois.
La cible de cet atelier
Une cible carrée de côté \(1\) porte un quart de disque de rayon \(1\). On lance des fléchettes au hasard sur la cible, sans viser. Avec cette expérience, on va estimer le nombre \(\pi\), puis une aire qu'Archimède avait calculée il y a 2 200 ans.
Sur \(100\) fléchettes lancées au hasard dans le carré, combien tombent dans le quart de disque, à peu près ?
2. Une fléchette, une épreuve de Bernoulli
La probabilité d'atteindre une région, c'est son aire.
La fléchette tombe au hasard dans le carré : elle n'a aucune raison de préférer un endroit à un autre. On admet alors que la probabilité qu'elle tombe dans une région du carré est égale à l'aire de cette région, puisque le carré a pour aire \(1\).
Le quart de disque a pour aire \(\dfrac{\pi\times 1^2}{4}=\dfrac{\pi}{4}\). Un lancer est donc une épreuve de Bernoulli (définition 2) : le succès \(S\), « la fléchette tombe dans le quart de disque », a pour probabilité \(p=\dfrac{\pi}{4}\).
Aide au calcul
\(3{,}14\div 4 = 3\div 4 + 0{,}14\div 4 = 0{,}75+0{,}035\).
\(p=\dfrac{\pi}{4}\approx\dfrac{3{,}14}{4}=0{,}785\). Une fléchette sur quatre environ tombe hors du quart de disque, dans le coin : \(1-p\approx 0{,}215\). C'est l'échec \(\overline{S}\). Sur \(100\) fléchettes, on en attend donc environ \(79\) dans le quart de disque : c'est la réponse au pari de l'écran 1.
3. Des fléchettes par centaines
La fréquence des succès se rapproche de la probabilité.
Les lancers sont indépendants et identiques : c'est la répétition d'une même épreuve de Bernoulli (définition 3), ici bien au-delà de \(n=4\). Vous avez vu en seconde que, lorsqu'on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un évènement se stabilise autour de sa probabilité. Ici, la fréquence \(f\) des fléchettes tombées dans le quart de disque se rapproche de \(p=\dfrac{\pi}{4}\), donc \(4f\) se rapproche de \(\pi\). Lancez !
| Fléchettes lancées \(n\) | 0 |
|---|---|
| dans le quart de disque \(k\) | 0 |
| Fréquence \(f=\dfrac{k}{n}\) | — |
| Estimation \(4f\) | — |
\(\pi = 3{,}14159\ldots\) L'affichage s'arrête à 3 000 fléchettes ; le compte continue.
Aide au calcul
\(4\times\dfrac{}{200}=\dfrac{}{50}=\dfrac{2\times }{100}\).
La fréquence est \(f=\dfrac{}{200}=\), et l'estimation de \(\pi\) est \(4f=\). Avec \(200\) fléchettes seulement, l'estimation est grossière : la méthode de Monte-Carlo demande des milliers, voire des millions de lancers — un travail pour l'ordinateur.
4. Quelques fléchettes seulement
Deux, trois ou quatre lancers : l'arbre du chapitre.
Revenons à un petit nombre de lancers, comme dans le cours. Pour calculer de tête, on arrondit : \(p=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}8\), et \(1-p\approx 0{,}2\). Chaque fléchette est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(0{,}8\) ; on en lance \(n\) de façon indépendante, et l'arbre a \(2^n\) chemins (définition 3).
Les deux chemins « tout d'un côté »
La probabilité d'un chemin est le produit de ses pondérations (théorème 2). Le chemin \(S\,S\,\ldots\,S\) a pour probabilité \(0{,}8^n\) ; le chemin \(\overline{S}\,\overline{S}\,\ldots\,\overline{S}\) a pour probabilité \(0{,}2^n\). Les évènements « au moins une… » se calculent par le contraire (théorème 3).
Aide au calcul
\(0{,}8^2=0{,}64\), \(0{,}8^3=0{,}512\), \(0{,}8^4=0{,}4096\) ; \(0{,}2^2=0{,}04\), \(0{,}2^3=0{,}008\), \(0{,}2^4=0{,}0016\).
5. Des millions de fléchettes : la console Python
Ce que faisait l'ENIAC en 1947, votre navigateur le fait aujourd'hui.
Le programme ci-dessous lance N fléchettes. Pour chacune, il tire au hasard une
abscisse \(x\) et une ordonnée \(y\) entre \(0\) et \(1\), puis teste si le point est dans le
quart de disque : c'est le cas lorsque sa distance à l'origine est au plus \(1\), c'est-à-dire
lorsque \(x^2+y^2\leqslant 1\). Il compte les succès, puis affiche \(4f\).
Exécutez le programme plusieurs fois : le résultat change à chaque fois, puisque les
fléchettes changent. Puis remplacez N = 1000 par N = 1000000 et
exécutez de nouveau. Python écrit les nombres décimaux avec un point.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
Lire les résultats
Avec \(1\,000\) fléchettes, l'estimation tombe presque toujours entre \(3{,}04\) et \(3{,}24\) ; avec un million, presque toujours entre \(3{,}138\) et \(3{,}145\). Pour gagner une décimale, il faut cent fois plus de fléchettes : la méthode est simple, mais lente.
L'aire du quart de disque est la probabilité \(p\) du succès, estimée par
la fréquence \(f=\dfrac{\text{dedans}}{N}\) : c'est dedans / N, sans le
facteur \(4\). Le programme affiche alors un nombre proche de \(0{,}785\).
6. L'aire sous la parabole
Archimède l'avait calculée exactement ; les fléchettes l'estiment.
Dans le même carré, on trace la parabole d'équation \(y=x^2\), de \(x=0\) à \(x=1\), et l'on colorie la région située sous la courbe. Une fléchette tombe dans cette région lorsque son ordonnée vérifie \(y\leqslant x^2\).
Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède a démontré, dans La quadrature de la parabole, comment calculer exactement une telle aire. Ici, elle vaut \(\dfrac13\) : c'est donc la probabilité du succès « la fléchette tombe sous la parabole ». Vérifiez-le en lançant.
Dans le programme de l'écran 5, il suffit de remplacer le test
x * x + y * y <= 1 par y <= x * x, et d'afficher
dedans / N : le programme estime alors l'aire sous la parabole.
La probabilité du succès est l'aire \(\dfrac13\) ; sur \(\) lancers, on attend donc environ \(\dfrac{}{3}=\) fléchettes sous la parabole — « environ », car le hasard fait varier ce nombre d'une expérience à l'autre.
7. Ce qu'il faut retenir
Le fil, d'un bout à l'autre.
La méthode de Monte-Carlo
Un point lancé au hasard dans un carré d'aire \(1\) tombe dans une région avec une probabilité égale à l'aire de cette région. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli et les lancers sont indépendants : pour quelques lancers, l'arbre et les théorèmes 2 et 3 donnent des probabilités exactes ; pour des milliers de lancers, la fréquence des succès estime la probabilité, donc l'aire.
C'est ainsi que l'on a estimé \(\pi\) (aire \(\dfrac{\pi}{4}\)) et l'aire sous la parabole (\(\dfrac13\)). La méthode est née en 1946 avec Ulam, von Neumann et Metropolis ; elle sert aujourd'hui partout où le calcul exact est hors de portée : physique, finance, prévisions météo, jeux vidéo.
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